Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间及最值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2+

2

sin（2x+

π

4

），由周期公式可得；
（2）由振幅的意义易得最值，分别由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

和2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可得函数f（x）的单调递增、递减区间．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=

1-cos2x

2

+sin2x+3•

1+cos2x

2

=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin（2x+

π

4

）
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知f（x）=2+

2

sin（2x+

π

4

）
∴函数的最大值为2+

2

，最小值为2-

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
同理由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z）；

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属中档题．