Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，且对任何x，y有f（x•y）=f（x）•f（y）-x-y，求f（x）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据赋值法，先令x=y=0求出f（0）的值，再令x=0，y=1，求出f（1）的值，再令y=1．即可求出函数的解析式．

解答： 解：∵函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，且对任何x，y有f（x•y）=f（x）•f（y）-x-y，
令x=y=0，则f（0）=f（0）•f（0）-0-0，
解得f（0）=0或f（0）=1，
令x=0，y=1，则f（0）=f（0）•f（1）-0-1，*
∴当f（0）=0时，*不成立，
∴f（0）≠0，f（0）=1，
∴f（1）=2，
再令y=1，则f（x）=f（x）•f（1）-x-1，
∴f（x）=x+1．

点评：本题考查了抽象函数的解析式的求法，关键是利用赋值法，属于中档题．