Question

我们把满足：①各项均为正数；②2a_n=S_n+

1

2

（n∈N^*）这两个条件的数列{a_n}称为“正气数列”，其中S_n为其前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n²=(

1

2

)bn，设c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（2）由a_n²=(

1

2

)bn，可得2^2n-2=2-bn，b_n=-2n+2．因此c_n=

bn

an

=（1-n）•

1

2n-3

，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵2a_n=S_n+

1

2

，∴当n=1时，2a1=a1+

1

2

，解得a1=

1

2

．
当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+

1

2

，2a_n-2a_n-1=a_n化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为

1

2

，公比为2．
∴an=

1

2

×2n-1=2^n-2．
（2）∵a_n²=(

1

2

)bn，
∴2^2n-2=2-bn，
∴-b_n=2n-2，
∴b_n=-2n+2．
∴c_n=

bn

an

=

-2n+2

2n-2

=（1-n）•

1

2n-3

，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=0-

1

2-1

-2-3•

1

2

-…+(1-n)×

1

2n-3

，

1

2

Tn=0-1-2×

1

2

-3×

1

22

-…+（2-n）×

1

2n-3

+（1-n）×

1

2n-2

，
∴

1

2

Tn=-

1

2-1

-1-

1

2

…-

1

2n-3

+（n-1）×

1

2n-2

=-

2(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+（n-1）×

1

2n-2

=-4+

n+1

2n-2

，
∴T_n=-8+

n+1

2n-3

．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．