Question

已知函数f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数
（1）求常数a的值
（2）判断f（x）的单调性并给出证明
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）是奇函数，可得方程f（x）+f（-x）=0代入函数解析式，由此方程求出a的值；
（2）由（1）函数f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，由解析式形式知f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，由定义证明即可；
（3）结合函数的单调性，从而求出函数的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数，可得f（x）+f（-x）=0
∴

1

2x-1

+a+

1

2-x-1

+a=0，解得a=

1

2

，
（2）由（1）得f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，证明如下
任取x₁＜x₂则
f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

-

1

2x2-1

=

2x2-2x1

(2x2-1)(2x1-1)

，
当x₁，x₂∈（0，+∞）时，2x₁-1＞0，2x₂-1＞0，2x₂-2x₁＞0，
所以

2x2-2x1

(2x2-1)(2x1-1)

，＞0，有f（x₁）-f（x₂）＞0；
当x₁，x₂∈（-∞，0）时，2x₁-1＜0，2x₂-1＜0，2x₂-2x₁＞0，
所以

2x2-2x1

(2x2-1)(2x1-1)

＞0，有f（x₁）-f（x₂）＞0，
 综上知，函数f（x）在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数；
（3）2^x→0时，f（x）→-

1

2

，2^x小于1趋向于1时，f（x）→-∞，
2^x→+∞时，f（x）→

1

2

，2^x大于1趋向于1时，f（x）→+∞，
∴函数f（x）的值域是（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质以及函数单调性的证明方法定义法，解题的关键是理解奇函数的定义及单调性的证明方法，本题的重点是单调性的证明，其中判断符号是难点．