Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（

3

2

-x）=f（x），f（-2）=-3，若数列{a_n}的前n项和S_n满足

Sn

n

=

2an

n

+1，则f（a₅）+f（a₆）=（　　）

• A、-3
• B、-2
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：数列递推式,函数奇偶性的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得f（x）是以3为周期的周期函数，从而a₁=-1，且S_n=2a_n+n，进而a₅=-31，a₆=-63，由此能求出f（a₅）+f（a₆）的值．

解答： 解：∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f（

3

2

-x）=f（x），
∴f（

3

2

-x）=-f（-x）
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{a_n}满足a₁=-1，且

Sn

n

=2×

an

n

+1，
∴a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故选：D．

点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意函数的奇偶性、周期性、数列的性质的合理运用．