Question

已知F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，过F点的直线交抛物线于M、N两点，则

2

| FM |

+

2

| FN |

=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点坐标，设出方程与抛物线联立，再根据抛物线的定义，即可求得结论．

解答： 解：抛物线y²=2px的焦点为F（

p

2

，0）
设L：y=kx-

p

2

k，与y²=2px联立，消去y可得k²x²-（pk²+2p）x+

p2k2

4

=0
设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂，x₁x₂=

p2

4

，
根据抛物线的定义可知|

FM

|=x₁+

P

2

，|

FN

|=x₂+

P

2

∴

2

| FM |

+

2

| FN |

=

2(|

FM

|+|

FN

|)|

FM

||

FN

|=

2(x1+x2+p)

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

2( pk2+2p k2 +p)

p2 4 + p 2 ( pk2+2p k2 )+ p2 4

=

4

p

．
故答案为：

4

p

．

点评：本题重点考查抛物线定义的运用，考查直线与抛物线的位置关系，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．