Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A₁A，C₁C上一点，且AE=CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥B₁-ADF的体积；
（3）求证：BE∥平面ADF．

Answer 1

分析：（1）由直棱柱的性质，得B₁B⊥底面ABC，从而有AD⊥B₁B，结合等腰△ABC中AD⊥BC，证出AD⊥平面B₁BCC₁，从而得出AD⊥B₁F，矩形B₁BCC₁中利用Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁证出∠B₁FD=90°，从而B₁F⊥FD，最后根据AD∩FD=D，证出B₁F⊥平面AFD；
（2）由（1）B₁F⊥平面AFD，得B₁F是三棱锥B₁-ADF的高．根据题中数据分别算出AD、DF、B₁F的长度，用锥体体积公式即可算出棱锥B₁-ADF的体积；
（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM．矩形AEFC中证出M为EC中点，从而得到MD是△CBE的中位线，得到MD∥BE，再利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面ADF．

解答：解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B₁B．
∵BC∩B₁B=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵B₁F?平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F．
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=a，B₁C₁=CF=2a，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°，可得B₁F⊥FD．
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面AFD．
（2）∵B₁F⊥平面AFD，∴B₁F是三棱锥B₁-ADF的高
等腰△ABC中，AD=

AC2-( 1 2 BC)2

=2

2

a，
矩形BB₁C₁C中，DF=B₁F=

a2+(2a)2

=

5

a
因此，三棱锥B₁-ADF的体积为
V B1-AFD=

1

3

×S_△AFD×B₁F=

1

3

×

1

2

×AD×DF×B 1F=

5 2

3

a3．
（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM，
∵AE=CF=2a，∴四边形AEFC为矩形，可得M为EC中点．
∵D为BC中点，∴MD∥BE．
∵MD?平面ADF，BE?平面ADF，∴BE∥平面ADF．

点评：本题在直四棱柱中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．