Question

15．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），左右焦点分别为F₁，F₂，C的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过P（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）点
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q点在椭圆C上，且$∠Q{F_1}F_2^{\;}$=30°，求△QF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率得到a，b的关系，化椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，把P（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）代入求得b²=1，则椭圆方程可求；
（2）在焦点三角形△QF₁F₂中，由已知结合余弦定理求得：|QF₁|=2，代入三角形面积公式可得△QF₁F₂的面积．

解答 解：（1）∵椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即a²=4b²，
∴椭圆C的方程可写为$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
把P（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）代入C中，得$\frac{3}{4{b}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，∴b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）在△QF₁F₂中，
由余弦定理cos30°=$\frac{|Q{F}_{1}{|}^{2}+（2c）^{2}-|Q{F}_{2}{|}^{2}}{2•2C•|Q{F}_{1}|}$=$\frac{|Q{F}_{1}{|}^{2}+4{c}^{2}-（2a-|Q{F}_{1}|）^{2}}{2•2c•|Q{F}_{1}|}$，
解得：|QF₁|=2，
且2c=2$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△Q{F}_{1}{F}_{2}}=2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}×sin30°=\sqrt{3}$

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了求解与焦点三角形有关的问题的求解方法，是中档题．