Question

4．已知函数f（x）=$|\begin{array}{l}{\sqrt{3}co{s}^{2}x}&{-sinx}\\{cosx}&{1}\end{array}|$．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{3}$，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，利用正弦函数的性质即可得解值域．
（2）由已知可求sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），可得A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理解得：bc=3，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分，第1小题满分为6分，第2小题满分为8分）
解：（1）∵f（x）=$|\begin{array}{l}{\sqrt{3}co{s}^{2}x}&{-sinx}\\{cosx}&{1}\end{array}|$=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，可得：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，可得：sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），可得：A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得：A=$\frac{π}{3}$．
∵a=4，b+c=5，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：16=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=25-3bc，解得：bc=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了行列式的计算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．