Question

4．已知函数f（x）是二次函数，以下4种说法：
①对于任意的非零实数m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是{1，2}；
②对于任意的非零实数m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是{1，4}；
③对于任意的非零实数m，n，p，关于x的方程m|f（x）|²+n|f（x）|+p=0的解集都不可能是{1，2，3，4}
；
④对于任意的非零实数m，n，p，关于x的方程m|f（x）|²+n|f（x）|+p=0的解集都不可能是{1，4，16，64}．
正确的是①②③．（写出所有正确的代号）

Answer 1

分析 利用二次函数的图象的对称性、中点坐标公式即可判断出结论．

解答 解：∵f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$，
设方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解为y₁，y₂，
必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，
那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线，它们与f（x）有交点．
由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=-$\frac{b}{2a}$对称，
也就是说2（x₁+x₂）=-$\frac{2b}{a}$，同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=-$\frac{b}{2a}$对称．
那就得到2（x₃+x₄）=-$\frac{2b}{a}$．
在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解，
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}．
而在D中，{1，4，16，64}，中间两个数4，16的对称轴为10，而最大值和最小值1，64的对称轴为x=$\frac{65}{2}$，
即函数的图象不是轴对称图形．
综上可得：只有①②③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了二次函数的图象的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．