Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（1）求f（2）与f（$\frac{1}{2}$），f（3）与f（$\frac{1}{3}$）
（2）证明：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，能求出求f（2）与f（$\frac{1}{2}$），f（3）与f（$\frac{1}{3}$）的值．
（2）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，能证明f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
∴f（2）=1-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=1-$\frac{1}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{1}{5}$．
f（3）=1-$\frac{1}{{3}^{2}+1}$=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=1-$\frac{1}{\frac{1}{9}+1}$=$\frac{1}{10}$．
证明：（2）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1．
故f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．