Question

9．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（I）求证：AD⊥平面PBE；
（II）若Q是PC的中点，求证PA∥平面BDQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的判定证明，关键是证明AD⊥PE，AD⊥BE；
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连接OQ，证明OQ∥PA，即可得到结论．

解答 证明：（Ⅰ）由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE…（2分）
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，

所以AB=BD，又因为E是AD的中点，
所以AD⊥BE…（4分）
又PE∩BE=E…（5分）
所以AD⊥平面PBE…（6分）
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连接OQ…（7分）
因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ∥PA…（9分）
又PA?平面BDQ…（10分）
OQ?平面BDQ…（11分）
所以PA∥平面BDQ…（12分）

点评 本题考查线面垂直，考查线面平行，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定，属于中档题．