Question

14．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足以AB为直径的圆过原点，求直线在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），半焦距为c，由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，a+c=3，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由△＞0 求得3+4k²＞m²，由韦达定理求得x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，由以AB为直径的圆过原点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，由向量数量积的坐标表示x₁•x₂+y₁•y₂=0，求得7m²=12+12k²，代入即可求得m²＞$\frac{3}{4}$，7m²=12+12k²≥12，即可求得截距y轴上截距的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），半焦距为c．
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，
∴a+c=3，解得：a=2，c=1，
由b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，整理得：3+4k²＞m²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²，
以AB为直径的圆过原点，
∴OA⊥OB，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，即x₁•x₂+k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
则（1+k²）x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
（1+k²）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-km•$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，化简得：7m²=12+12k²，
将k²=$\frac{7}{12}$m²-1，代入3+4k²＞m²，3+4（$\frac{7}{12}$m²-1）＞m²，
解得：m²＞$\frac{3}{4}$，
又由7m²=12+12k²≥12，
从而m²≥$\frac{12}{7}$，m≥$\frac{2\sqrt{21}}{7}$或m≤-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴实m的取值范围（-∞，-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．