Question

19．f（x）=xsinx+cosx；
（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：$\sqrt{2}≈1.4，\sqrt{6}$≈2.4）
（2）若存在$x∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，使得f（x）＞kx²+cosx成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的单调性，根据零点的判定定理证明即可；
（2）求出$k＜\frac{sinx}{x}$． 令$h（x）=\frac{sinx}{x}$，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
∴x∈（2，3）时，f'（x）=xcosx＜0，
∴函数f（x）在（2，3）上是减函数．   …（2分）
又$f（2）=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2=\sqrt{2}sin（2+\frac{π}{4}）+sin2＞0$，…（4分）
∵$3sin3＜3sin\frac{11π}{12}=3sin\frac{π}{12}=3sin（\frac{π}{3}-\frac{π}{4}）=3×\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}≈0.75$，
$cos3＜cos\frac{11π}{12}=-cos\frac{π}{12}=-cos（\frac{π}{3}-\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}≈-0.95$，
∴f（3）=3sin3+cos3＜0，
由零点存在性定理，f（x）在区间（2，3）上只有1个零点．…（6分）
（2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx²+cosx，
整理得$k＜\frac{sinx}{x}$． …（7分）
令$h（x）=\frac{sinx}{x}$，则$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}$，
令g（x）=xcosx-sinx，g'（x）=-xsinx＜0，
∴g（x）在$x∈（\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}）$上单调递减，…（9分）
∴$g（x）＜g（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{π}{4}-1）＜0$，即g（x）=xcosx-sinx＜0，
∴$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}＜0$，即$h（x）=\frac{sinx}{x}$在$（\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}）$上单调递减，…（11分）
∴$h（x）＜\frac{{sin\frac{π}{4}}}{{\frac{π}{4}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{π}{4}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$，
即$k＜\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$．   …（12分）

点评 本题考查了函数的零点判定定理，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．