Question

2．已知函数$f（x）=x+\frac{2}{x}$，利用定义证明：
（1）f（x）为奇函数；
（2）f（x）在$[\sqrt{2}$，+∞）上是增加的．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义证明即可；（2）任取${x_1}，{x_2}∈[\sqrt{2}，+∞），且{x_1}＜{x_2}$，根据函数单调性的定义证明即可．

解答 证明：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）（0，+∞），
$f（-x）=-x+\frac{2}{-x}=-f（x）$，
所以$f（x）=x+\frac{2}{x}$为奇函数----------------------（5分）
（2）任取${x_1}，{x_2}∈[\sqrt{2}，+∞），且{x_1}＜{x_2}$
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{2}{x_1}-（{x_2}+\frac{2}{x_2}）$
=（x₁-x₂）+（$\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}）$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）{x_1}{x_2}}}{{{x_{_1}}{x_2}}}-\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-2）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵$\sqrt{2}≤{x_1}＜{x_2}$，∴${x_1}-{x_2}＜0，{x_{_1}}{x_2}＞2，{x_1}{x_2}-2＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0
即：f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在$[\sqrt{2}$，+∞）上是增加的．----------------------------（10分）

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性的定义，是一道基础题．