Question

17．已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+（y）
（1）求f（1），f（4）的值．
（2）如果f（8-x）-f（x-3）≤4，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，可求出f（1），令x=y=2，结合条件，可求出f（4）；
（2）将4换成f（16），结合条件得到f（8-x）＜f（16（x-3）），再由单调性，即可求出x的取值范围，注意定义域．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），∴令x=y=1，则f（1）=2f（1），即f（1）=0，
令x=y=2，则f（4）=2f（2）=2．
（2）令x=y=4，则f（16）=2f（4）=4．
 不等式f（8-x）-f（x-3）≤4，即f（8-x）≤f（x-3）+4
即f（8-x）≤f（x-3）+f（16）=f（16（x-3）
由于函数在定义域（0，+∞）上为增函数，⇒
$\left\{\begin{array}{l}{8-x＞0}\\{x-3＞0}\\{8-x≤16（x-3）}\end{array}\right.$   解得不等式组得：$\frac{56}{17}≤x＜8$
所以x的取值范围：[$\frac{56}{17}$，8）

点评 本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，属于基础题