Question

1．已知函数f（x）=|x+1|-|x-1|+a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）函数f（x）的图象与直线y=x有3个不同的交点，数形结合可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=|x+1|-|x-1|+1，
∴当x≤-1时，f（x）=-1，不可能非负．
当-1＜x＜1时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得x≥$-\frac{1}{2}$，于是$-\frac{1}{2}$≤x＜1．
当x≥1时，f（x）=3＞0恒成立．
∴不等式f（x）≥0的解集$[-\frac{1}{2}\;，\;\;+∞）$．…（5分）
（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为a=x+|x-1|-|x+1|．
令$h（x）=x+|{x-1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}x+2，x＜-1\\-x，\;\;\;-1≤x≤1\\ x-2，x＞1\end{array}\right.$
作出图象如右． …（8分）
于是由题意可得-1＜a＜1．…（10分）

点评 本题主要绝对值的意义，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．