Question

11．已知A，B是球O的球面上的两点，∠AOB=$\frac{π}{2}$，C为该球球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为3，则球的体积为24π．

Answer 1

分析 当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为3，求出半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{R}^{2}×R$=$\frac{1}{6}{R}^{3}$=3
∴R³=18，
则球O的体积为$\frac{4}{3}$πR³=24π．
故答案为：24π．

点评 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．