Question

2．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{3x-2}$，x∈[1，4]，且f（1）=2．
（1）求函数的解析式并证明函数的单调性；
（2）求函数y=f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）将由f（1）=-1求出a=1，代入f（x），求出函数的解析式，里用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数单调性的求出最值即可．

解答 证明：（1）$f（1）=\frac{1+a}{3-2}=2$，∴a=1，
∴函数的解析式：f（x）=$\frac{x+1}{3x-2}$，x∈[1，4]
设任取x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}+1}{3{x}_{1}-2}-\frac{{x}_{2}+1}{3{x}_{2}-2}$=$\frac{5（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（3{x}_{1}-2）（3{x}_{2}-2）}$
∵1≤x₁＜x₂≤4，x₁-x₂＜0，3（x₁-2）＞0，3（x₂-2）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[1，4]上为减函数．
解：（2）由（1）知，f（x）在[1，4]上为减函数，
f（x）_max=f（1）=2，$f{（x）_{min}}=f（4）=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了用定义法证明函数的单调性，及函数的最值，属于中档题．