Question

20．已知tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，且α∈（-$\frac{π}{2}$，0），则$\frac{{2{{sin}^2}α+sin2α}}{{cos（α-\frac{π}{4}）}}$=（　　）

• A． $-\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$
• B． $-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得$\frac{{2{{sin}^2}α+sin2α}}{{cos（α-\frac{π}{4}）}}$的值．

解答 解：∵tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=$\frac{1}{2}$，则tanα=-$\frac{1}{3}$，
∵tanα=$\frac{sinα}{cosα}$，sin²α+cos²α=1，α∈（-$\frac{π}{2}$，0），
可得 sinα=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴$\frac{{2{{sin}^2}α+sin2α}}{{cos（α-\frac{π}{4}）}}$=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{cos（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{4sinα（sinα+cosα）}{\sqrt{2}（sinα+cosα）}$=2$\sqrt{2}$sinα=2$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．