Question

13．已知圆O半径为2，弦AB=2，点C为圆O上任意一点，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值是6．

Answer 1

分析 可取AB的中点D，并连接OD，OA，OC，则可根据条件求得$cos∠OAD=\frac{1}{2}$，而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$进行数量积的运算即可求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=4cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+2$，从而便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：如图，取AB中点D，连接OD，OA，OC，则：
cos∠OAD=$\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}$
=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OC}|cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OA}|cos∠OAD$
=$4cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞+2$
≤6；
当$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}＞=1$，即$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{OC}$同向时取“=”；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值为6．
故答案为：6．

点评 考查圆心和弦中点的连线和弦垂直，三角函数的定义，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及计算公式，余弦函数的最大值，向量夹角的概念．