Question

2．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．
（Ⅰ）证明：NE⊥PD；
（Ⅱ）求三棱锥E-PBC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，由三角形中位线定理可得NF∥PD，$NF=\frac{1}{2}PD$，在结合已知得四边形NFCE为平行四边形，得到NE∥AC．再由PD⊥平面ABCD，得AC⊥PD，从而证得NE⊥PD；
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，得平面PDCE⊥平面ABCD，可得BC⊥CD，则BC⊥平面PDCE．然后利用等积法把三棱锥E-PBC的体积转化为B-PEC的体积求解．

解答 （Ⅰ）证明：连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，
∵N为线段PB的中点，∴NF∥PD，且$NF=\frac{1}{2}PD$，
又EC∥PD且$EC=\frac{1}{2}PD$，
∴NF∥EC且NF=EC．
∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC，即NE∥AC．
又∵PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵NE∥AC，∴NE⊥PD；
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD，
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．
三棱锥E-PBC的体积${V_{E-PBC}}={V_{B-PEC}}=\frac{1}{3}{S_{△PEC}}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了线面垂直的性质，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．