Question

9．定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）=e^x，给出如下结论：
①f（x）=$\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$且0＜f（1）＜g（2）；
②?x∈R，总有[g（x）]²-[f（x）]²=1；
③?x∈R，总有f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=0；
④?x₀∈R，使得f（2x₀）＞2f（x₀）g（x₀）．
其中所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据已知中定义在R上的偶函数g（x）和奇函数f（x）满足f（x）+g（x）=e^x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（-x）+g（-x）=e^-x，解方程组即可得到g（x）的解析式．然后根据函数f（x）和g（x）的解析式，分别进行判断即可．

解答 解：①∵f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
又∵g（x）为定义在R上的偶函数，
g（-x）=g（x）
由f（x）+g（x）=e^x，①
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e^-x，②
∴由①②得，f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），
则f（x）在定义域R上是增函数，∴f（0）＜f（1）＜g（2）；
即0＜f（1）＜g（2）；故①正确，
②?x∈R，[g（x）]²-[f（x）]²=[g（x）+f（x）][g（x）-f（x）]=e^x•e^-x=e^x-x=e⁰=1；故②正确，
③?x∈R，总有f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=-f（x）g（x）+f（x）g（x）=0；故③正确，
④f（2x）=$\frac{1}{2}$（e^2x-e^-2x），
2f（x）g（x）=2×$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）×$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）=$\frac{1}{2}$（e^2x-e^-2x），
则?x∈R，f（2x）=2f（x）g（x）．
则?x₀∈R，使得f（2x₀）＞2f（x₀）g（x₀）为假命题．
故正确的命题是①②③，
故选：A．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数奇偶性的应用，根据条件建立方程组求出函数的解析式是解决本题的关键．