Question

18．已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），设函数g（x）=f²（x）+f（x²），则g（x）_max-g（x）_min=5．

Answer 1

分析 换元t=log₂x，求得0≤t≤1，化简g（x）即为h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，求出对称轴t=-2，可得h（t）在[0，1]为增函数，计算即可得答案．

解答 解：∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$，即1≤x≤2，
∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+2log₂x，
∴g（x）=（log₂x）²+4log₂x+2，1≤x≤2
设t=log₂x，则h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，
∵对称轴t=-2，h（t）在[0，1]为增函数，
∴g（x）的最小值为h（0）=2，最大值为h（1）=7
则g（x）_max-g（x）_min=7-2=5．
故答案为：5．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法转化为二次函数求值域问题，注意自变量的范围，同时考查对数函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．