Question

13．已知c＞0，设命题p：函数y=c^x为减函数．命题q：?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，x+$\frac{1}{x}$＞c．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，进而可得实数c的取值范围；

解答 解：若函数y=c^x为减函数．则0＜c＜1，
若x∈[$\frac{1}{2}$，2]，则当x=1时，x+$\frac{1}{x}$取最小值2，
若：?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，x+$\frac{1}{x}$＞c，则c＜2．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{c≥2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{c≤0，或\\;c≥1}\\{c＜2}\end{array}\right.$，
解得：c∈（-∞，0]∪[1，2）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质，难度中档．