Question

1．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=6，且AB+BD=AC+CD=10，则四面体ABCD的体积的最大值是$2\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．

解答 解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，∴CE⊥AD，
由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，∴BE=CE．
取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，
∵AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，
∵BC是定值，∴只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=10，
∴AB=5，则EB=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4$，EF=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}-1}=\sqrt{15}$，
∴几何体的体积为：$\frac{1}{3}$×2×$\sqrt{15}$×6×$\frac{1}{2}$=$2\sqrt{15}$．
故答案为：$2\sqrt{15}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．