Question

10．对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x²都不是“T同比不减函数”；
（2）若函数f（x）=kx+sinx是“$\frac{π}{2}$同比不减函数”，求k的取值范围；
（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x-1|-|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据T同比不减函数的定义即可证明，
（2）根据T同比不减函数的定义，分离参数得到k≥$\frac{2\sqrt{2}}{π}$sin（x-$\frac{π}{4}$），根据三角形函数的性质即可求出k的范围，
（3）画出函数f（x）的图象，根据图象的平移即可求出T的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²，
∴f（x+T）-f（x）=（x+T）²-x²=2xT+T²=T（2x+T），
由于2x+T与0的小无法比较，
∴f（x+T）≥f（x）不一定成立，
∴对任意正常数T，f（x）=x²都不是“T同比不减函数，
（2）∵函数f（x）=kx+sinx是“$\frac{π}{2}$同比不减函数，
∴f（x+$\frac{π}{2}$）-f（x）=k（x+$\frac{π}{2}$）+sin（x+$\frac{π}{2}$）-kx-sinx=$\frac{kπ}{2}$+cosx-sinx=$\frac{kπ}{2}$-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≥0恒成立，
∴k≥$\frac{2\sqrt{2}}{π}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∵-1≤sin（x-$\frac{π}{4}$）≤1，
∴k≥$\frac{2\sqrt{2}}{π}$，
（3）f（x）=x+|x-1|-|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，
∴T≥4．

点评 本题考查了新定义的理解和应用，考查了学生的分析问题，应用问题，解决问题的能力，属于中档题．