Question

15．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程及其参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而可得参数方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，x+y=4+$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）=4+2sin（$θ+\frac{π}{4}$），即可求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

解答 解：（Ⅰ）因为ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-6，
∴x²+y²=4x+4y-6，
即（x-2）²+（y-2）²=2为圆C的直角坐标方程．      …（4分）
所以所求的圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．                      …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，x+y=4+$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）=4+2sin（$θ+\frac{π}{4}$）        …（8分）
当 $θ=\frac{π}{4}$时，即点P的直角坐标为（3，3）时，x+y取到最大值为6．…（10分）

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，考查参数方程的运用，属于中档题．