Question

已知函数（为实常数）．
（1）若函数图像上动点到定点的距离的最小值为，求实数的值；
（2）若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；
（3）设，若不等式在有解，求的取值范围．

Answer 1

（1）或；（2）；（3）当时，；
当时，．

解析试题分析：（1）点是函数上的点，因此我们设点坐标为，这样可把表示为关于的函数，而其最小值为2，利用不等式的知识可求出，即点坐标，用基本不等式时注意不等式成立的条件；（2）题目已经要求我们用函数单调性的定义求解，因此我们直接用定义，设，则函数在上单调递增，说明恒成立，变形后可得恒成立，即小于的最小值（如有最小值的话），事实上，故；（3）不等式在有解，则，因此大于或等于的最小值，下面我们要求的最小值，而，可以看作是关于的二次函数，用换元法变为求二次函数在给定区间上的最小值，注意分类讨论，分类的依据是二次函数的对称轴与给定区间的关系．
试题解析：（1）设，则，
                  （1分）
，               （1分）
当时，解得；当时，解得．     （1分）
所以，或．                   （1分）
（只得到一个解，本小题得3分）
（2）由题意，任取、，且，
则， （2分）
因为，，所以，即，       （2分）
由，得，所以．
所以，的取值范围是．                       （2分）
（3）由，得，
因为，所以，                  （2分）
令，则，所以，令，，
于是，要使原不等式在有解，当且仅当（）． （1分）
因为，所以