Question

【题目】请用空间向量求解已知正四棱柱中，，， 分别是棱，上的点，且满足，．

求异面直线，所成角的余弦值；

求面与面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

推导出AD，DC，两两垂直，以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线，所成角的余弦值;求出平面的一个法向量和平面FAD的一个法向量，利用向量法能求出面与面FAD所成的锐二面角的余弦值．

在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，

所以AD，DC，两两垂直，

以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

又因，，E，F分别是棱，上的点，

且满足，，，

所以0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，

所以，

设异面直线，所成角为

所以，

所以异面直线，所成角的余弦值为

，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，

所以，

平面FAD的一个法向量为，

则，所以，令，所以，

所以，

所以面与面FAD所成的锐二面角的余弦值为