【题目】若长方体的底面是边长为2的正方形,高为4,
是
的中点,则( )
A.B.平面
平面
C.三棱锥的体积为
D.三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】
以为正交基底建立空间直角坐标系,写出各点坐标,计算
值即可判断A;分别求出平面
,平面
的法向量,判断它们的法向量是否共线,即可判断B;利用等体积法,求出三棱锥
的体积即可判断C;三棱锥
的外接球即为长方体
的外接球,故求出长方体
的外接球的表面积即可判断D.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
,
所以,
,
因为,所以
与
不垂直,故A错误;
,
设平面的一个法向量为
,则
由,得
,所以
,
不妨取,则
,
所以,
同理可得设平面的一个法向量为
,
故不存在实数使得
,故平面
与平面
不平行,故B错误;
在长方体中,
平面
,
故是三棱锥
的高,
所以,
故C正确;
三棱锥的外接球即为长方体
的外接球,
故外接球的半径,
所以三棱锥的外接球的表面积
,故D正确.
故选:CD.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动,用随机数法确定这5名职工现将随机数表摘录部分如下:
从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的第5个职工的编号为
A.23B.37C.35D.17
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点曲线
的一个焦点,
为坐标原点,点
为抛物线
上任意一点,过点
作
轴的平行线交抛物线的准线于
,直线
交抛物线于点
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求证:直线过定点
,并求出此定点的坐标.
【答案】(I);(II)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)将曲线化为标准方程,可求得
的焦点坐标分别为
,可得
,所以
,即抛物线的方程为
;(Ⅱ)结合(Ⅰ),可设
,得
,从而直线
的方程为
,联立直线与抛物线方程得
,解得
,直线
的方程为
,整理得
的方程为
,此时直线恒过定点
.
试题解析:(Ⅰ)由曲线,化为标准方程可得
, 所以曲线
是焦点在
轴上的双曲线,其中
,故
,
的焦点坐标分别为
,因为抛物线的焦点坐标为
,由题意知
,所以
,即抛物线的方程为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的准线方程为
,设
,显然
.故
,从而直线
的方程为
,联立直线与抛物线方程得
,解得
①当,即
时,直线
的方程为
,
②当,即
时,直线
的方程为
,整理得
的方程为
,此时直线恒过定点
,
也在直线
的方程为
上,故直线
的方程恒过定点
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足
,
,记
的前
项和为
,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子,他提出了一条原理:“幂势既同幂,则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线
与直线
,
和
所围成的平面图形绕
轴旋转一周所得,如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法,求出此冷却塔的体积为_______.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 |
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 |
A.07B.04C.02D.01
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