Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点.求证：

（1）MN∥平面ABC；

（2）EF∥平面AA1B1B.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1）推导出MN∥BC，由此能证明MN∥平面ABC.

（2）取A1B1的中点D，连接DE，BD.推导出四边形DEFB是平行四边形，从而EF∥BD，由此能证明EF∥平面AA1B1B.

证明：（1）∵M、N分别是A1B和A1C中点.

∴MN∥BC，

又BC平面ABC，MN平面ABC，

∴MN∥平面ABC.

（2）如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.

∵D为A1B1中点，E为A1C1中点，

∴DE∥B1C1且，

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，

∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中点，∴BF∥B1C1且，

∴DE∥BF且DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形，∴EF∥BD，

又BD平面AA1B1B，EF平面AA1B1B，

∴EF∥平面AA1B1B.