【题目】对于函数与常数
,若
恒成立,则称
为函数
的一个“
数对”;设函数
的定义域为
,且
.
(Ⅰ)若是
的一个“
数对”,且
,求常数
的值;
(Ⅱ)若是
的一个“
数对”,求
;
(Ⅲ)若是
的一个“
数对”,且当
,
,求
的值及
在区间
上的最大值与最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意知,代入解方程组即可;
(Ⅱ)由题意知恒成立,令
可得
,所以
是公差为
的等差数列,由等差数列求通项即可得解;
(Ⅲ)代入,可得
,进而可得
在
上的值域,由当
时,
,
,讨论奇偶即可得最值.
试题解析:
(Ⅰ)由题意知
即
解得
(Ⅱ)由题意知恒成立,
令可得
,
所以是公差为
的等差数列,
故,
又,
故.
(Ⅲ)当时,
,
令可得
,
解得,
所以时,
,
故在
上的值域是
.
又是
的一个“
数对”,
故恒成立,
当时,
,
,
故当为奇数时,
在
上的取值范围是
,
当为偶数时,
在
上的取值范围是
,
所以当时,
在
上的最大值为
,最小值为
,
当且为奇数时,
在
上的最大值为
,最小值为
,
当为偶数时,
在
上的最大值为
,最小值为
.
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【题目】函数(
,
)的部分图象如图中实线所示,图中圆C与
的图象交于M,N两点,且M在y轴上,则下列说法中正确的是( )
A.函数的最小正周期是2π
B.函数的图象关于点
成中心对称
C.函数在
单调递增
D.将函数的图象向左平移
后得到的关于y轴对称
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,点
,圆
,点
是圆上一动点,线段
的中垂线与线段
交于点
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,且存在点
(其中
不共线),使得
被
轴平分,证明:直线
过定点.
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【题目】在三角形内,我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心,且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的两倍类比上述结论:在三棱锥中,我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”,将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”,则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的______倍
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【题目】根据下列条件解三角形,有两解的有( )
A.已知a,b=2,B=45°B.已知a=2,b
,A=45°
C.已知b=3,c,C=60°D.已知a=2
,c=4,A=45°
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【题目】已知抛物线的焦点曲线
的一个焦点,
为坐标原点,点
为抛物线
上任意一点,过点
作
轴的平行线交抛物线的准线于
,直线
交抛物线于点
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求证:直线过定点
,并求出此定点的坐标.
【答案】(I);(II)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)将曲线化为标准方程,可求得
的焦点坐标分别为
,可得
,所以
,即抛物线的方程为
;(Ⅱ)结合(Ⅰ),可设
,得
,从而直线
的方程为
,联立直线与抛物线方程得
,解得
,直线
的方程为
,整理得
的方程为
,此时直线恒过定点
.
试题解析:(Ⅰ)由曲线,化为标准方程可得
, 所以曲线
是焦点在
轴上的双曲线,其中
,故
,
的焦点坐标分别为
,因为抛物线的焦点坐标为
,由题意知
,所以
,即抛物线的方程为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的准线方程为
,设
,显然
.故
,从而直线
的方程为
,联立直线与抛物线方程得
,解得
①当,即
时,直线
的方程为
,
②当,即
时,直线
的方程为
,整理得
的方程为
,此时直线恒过定点
,
也在直线
的方程为
上,故直线
的方程恒过定点
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足
,
,记
的前
项和为
,求证:
.
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【题目】某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(3)记X表示抽取的3名工人中男工人人数,求X的分布列和数学期望.
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