Question

 (1)已知函数f(x)＝x³＋f′x²－x，求函数f(x)的图象在点处的切线方程．

(2)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x³和y＝ax²＋x－9都相切，求a的值．

Answer 1

解：(1)由f(x)＝x³＋f′x²－x，

可得f′(x)＝3x²＋2f′x－1，

∴f′＝3ײ＋2f′×－1，

解得f′＝－1，即f(x)＝x³－x²－x，

则

故函数f(x)的图象在处的切线方程是

即27x＋27y＋4＝0.

(2)设过(1,0)的直线与y＝x³相切于点(x₀，x)，

所以切线方程为y－x＝3x(x－x₀)，即y＝3xx－2x，

又(1,0)在切线上，则x₀＝0或x₀＝.

当x₀＝0时，由y＝0与y＝ax²＋x－9相切可得a＝－，

当x₀＝时，由y＝x－与y＝ax²＋x－9相切可得a＝－1，所以a＝－1或a＝－.