Question

已知{e₁，e₂，e₃}为空间的一个基底，且

OP

=2e1-e2+3e3，

OA

=e1+2e2-e3，

OB

=-3e1+e2+2e3，

OC

=e1+e2-e3．
（1）判断P，A，B，C四点是否共面；
（2）能否以{

OA

，

OB

，

OC

}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量

OP

．

Answer 1

分析：（1）假设假设四点共面，则存在实数x，y，z使

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，且x+y+z=1，
把各向量的坐标代入，解出的x、y、z值看是否满足x+y+z=1．
（2）任何三个不共面的向量构成空间向量的一个基底，用反证法证明向量

OA

，

OB

，

OC

共面不可能，
因此{

OA

，

OB

，

OC

}可以作为空间的一个基底，待定系数法求

OP

．

解答：解：（1）假设四点共面，则存在实数x，y，z使

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，
且x+y+z=1，
即2e₁-e₂+3e₃=x（e₁+2e₂-e₃）+y（-3e₁+e₂+2e₃）+z（e₁+e₂-e₃）．（4分）
比较对应的系数，得一关于x，y，z的方程组

x-3y+z=2 2x+y+z=-1 -x+2y-z=3

解得

x=17 y=-5 z=-30

与x+y+z=1矛盾，故四点不共面；（6分）
（2）若向量

OA

，

OB

，

OC

共面，则存在实数m，n使

OA

=m

OB

+n

OC

，
同（1）可证，这不可能，
因此{

OA

，

OB

，

OC

}可以作为空间的一个基底，
令

OA

=a，

OB

=b，

OC

=c，
由e₁+2e₂-e₃=a，-3e₁+e₂+2e₃=b，e₁+e₂-e₃=c联立得到方程组，
从中解得

e1=3a-b-5c e2=a-c e2=4a-b-7c.

（10分）
所以

OP

=17

OA

-5

OB

-30

OC

．（12分）

点评：本题考查向量共面的条件，使用了反证法，及用待定系数法表示空间向量．