Question

已知数列数列{a_n}的通项公式a_n=（-1）ⁿ（2n-1）（n∈N^*），S_n为其前n项和
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据a_n=（-1）ⁿ（2n-1），可求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）由（1）猜想S_n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．

解答： 解：（1）依题设可得S₁=-1，S₂=-1+3=2，S₃=-1+3-5=-3，S₄=-1+3-5+7=4；（5分）
（2）猜想：S_n=（-1）ⁿ•n．…（7分）
证明：①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k时，猜想成立，即S_k=（-1）^k•k．
那么，当n=k+1时，S_k+1=（-1）^k•k+a_k+1=（-1）^k•k+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^k+1•（k+1）．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．…（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第二问要注意数学归纳法的证明技巧．