Question

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）导函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当k为奇数时，设b_n=

1

2

f′（n）-n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明不等式（1+b_n） 

1

bn+1

＞e对一切正整数n均成立，并比较S₂₀₁₂-1与ln2012的大小．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,导数的加法与减法法则

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：1°当k 为奇数时；2°当k 为偶数时；分别得出导数值为正或负时的x的取值集合，最后综合即可；
（2）当k为奇数时，f′（x）=2（x+

1

x

），要证（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即证（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，两边取对数，即证ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，设1+

1

n

=t，构造函数g（t）=lnt+

1

t

-1，利用导数工具研究其单调性即可证得lnt＞1-

1

t

，最后利用累乘法即可证出S₂₀₁₂-1＜ln2012．

解答： （1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）^k

1

x

，
1°当k 为奇数时，f′（x）=2x+

2

x

，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°当k 为偶数时，f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
综上所述，当k 为奇数时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当k 为偶数时，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
（2）当k为奇数时，f′（x）=2（x+

1

x

），
∴b_n=

1

2

f′（n）-n=

1

n

，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

要证（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即证（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，两边取对数，
即证ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

设1+

1

n

=t，则n=

1

t-1

，
lnt＞1-

1

t

（t＞1），构造函数g（t）=lnt+

1

t

-1，
∵x＞1，∴g′（t）=

1

t

-

1

t2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，g（t）＞g（1）＞0
即lnt＞1-

1

t

，∴（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，
S₂₀₁₂-1=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

）-1=

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

，
∵ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln2+ln（1+

1

2

）+…+ln（1+

1

2012

）=ln2+ln

3

2

+…+ln

2012

2011

=ln（2×

3

2

×…×

2012

2011

）=ln2012，
∴

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln2012，

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．