Question

已知函数f（x）=x²+2ax+4．
（1）若函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），求函数在x∈[-2，2]的值域；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+1的图象上方，试确定实数a的范围．
（3）若方程f（x）=0在[-1，1]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点,函数的值域,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意知对称轴-a=

1+x+1-x

2

=1，由此能求出函数在x∈[-2，2]的值域．
（2）由已知条件推导出x²+（2a-2）x+3＞0在区间[-1，1]恒成立，由此能求出实数a的范围．
（3）f（x）=x²+2ax+4=0在[-1，1]上有解，等价于△=0或f（-1）f（1）≤0，由此能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2ax+4．
∵函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），
∴对称轴-a=

1+x+1-x

2

=1，解得a=-1，
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，x∈[-2，2]
∴f（x）_min=f（1）=3，f（x）_max=f（-2）=12，
∴函数在x∈[-2，2]的值域为[3，12]．（4分）
（2）∵在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+1的图象上方，
∴x²+2ax+4＞2x+1在区间[-1，1]恒成立，
∴①当x=0时，等式成立，
②当1≥x＞0时，有
a＞

-x2+2x-3

2x

=1-（

x

2

+

3

2x

）
⇒a＞1-

3

③当-1≤a＜0时，有
a＜

-x2+2x-3

2x

=1-（

x

2

+

3

2x

）
⇒a＜1+

3

∴解得1-

3

＜a＜1+

3

，
∴实数a的范围是（1-

3

，1+

3

）．（8分）
（3）∵f（x）=x²+2ax+4=0在[-1，1]上有解，
∴a∈[-1，1]且f（-a）＜0，或f（-1）f（1）≤0，
当a∈[-1，1]，时，f（-a）=4-a²＞0，不符合题意，无解．
f（-1）f（1）≤0时，
（1+2a+4）（1-2a+4）≤0，即（2a+5）（2a-5）≥0．
解得a≥

5

2

或a≤-

5

2

，
∴实数a的取值范围（-∞，-

5

2

]∪[

5

2

，+∞）．（14分）

点评：本题考查函数的值域的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．