Question

已知ω=z+i（i∈C），

z-2

z+2

是纯虚数，又|ω+1|²+|ω-1|²=16，求ω．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：设z=a+bi，a，b∈R，由

z-2

z+2

是纯虚数可得a，b的关系式，由|ω+1|²+|ω-1|²=16可得ab的值，进而可得．

解答： 解：设z=a+bi，a，b∈R，
∴

z-2

z+2

=

(a-2)+bi

(a+2)+bi

=

a2+b2-4+4bi

(a+2)2+b2

，
∵

z-2

z+2

是纯虚数，∴

a2+b2-4=0 b≠0

，
∴|ω+1|²+|ω-1|²=|（a+1）+（b+1）i|²+|（a-1）+（b+1）i|²
=（a+1）²+（b+1）²+（a-1）²+（b+1）²
=2（a²+b²）+4b+4=8+4b+4
=12+4b=16，解得b=1，
∴a=±

3

，
∴z=±

3

+i，ω=z+i=±

3

+2i

点评：本题考查复数代数形式的综合运算，涉及纯虚数和模长公式，属中档题．