Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0，令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个

π

6

单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（z）在区间[m，m+10π]（-

π

4

＜m＜

5π

12

）上有20个零点：a₁，a₂，a₃，…，a₂₀，求a₁+a₂+a₃+…+a₂₀的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,数列的求和

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据图象平移变换求出g（x），令g（z）=0，求得z=kπ+

5π

12

，或 z=kπ+

3π

4

，k∈z，可得 a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

3π

4

）]，计算求得结果．

解答： 解：由题意可得，g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1．
若函数y=g（x）在区间[m，m+10π]上有20个零点，则区间[m，m+10π]恰好包含10个周期，
函数在区间[m+kπ，m+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[m，m+10π]上有20个零点．
令g（z）=2sin（2z+

π

3

）+1=0，求得 sin（2z+

π

3

）=-

1

2

，
∴2z+

π

3

=2kπ+

7π

6

，或2z+

π

3

=2kπ+

11π

6

，即 z=kπ+

5π

12

，或 z=kπ+

3π

4

，k∈z．
再结合-

π

4

＜m＜

5π

12

，在区间[m，m+10π]上，∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀
=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

3π

4

）]
=

295

6

+

105π

2

=

305

3

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决问题的关键，属于基础题．