Question

如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，设EA=1，FC=2；
（1）证明：平面EAB⊥平面EAD；
（2）求四面体BDEF的体积；
（3）求点B到平面DEF的距离．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明AB⊥平面EAD，即可证明平面EAB⊥平面EAD；
（2）利用四面体BDEF的体积V=V_ABCDEF-V_E-ABD-V_F-BCD=2V_B-ACFE-V_E-ABD-V_F-BCD，即可证明结论；
（3）由余弦定理知cos∠EDF=

5+8-9

2• 5 •2 2

=

1

10

，所以sin∠EDF=

3

10

，求出△DEF的面积，利用等体积，即可求点B到平面DEF的距离．

解答： （1）证明：由已知：AB⊥EA，AB⊥DA，所以AB⊥平面EAD，
而AB⊆平面EAB，所以平面EAB⊥平面EAD；
（2）解：四面体BDEF的体积V=V_ABCDEF-V_E-ABD-V_F-BCD=2V_B-ACFE-V_E-ABD-V_F-BCD

=2( 1 3 SACFE• 1 2 BD)- 1 3 S△ABD•EA- 1 3 S△BCD•FC =2[ 1 3 • (1+2)×2 2 2 • 2 ]- 1 3 ×2×1- 1 3 ×2×2=2

所以四面体BDEF的体积为2
（3）解：先求△DEF的三条边长：DE=

EA2+AD2

=

5

，DF=

FC2+CD2

=2

2

，
在直角梯形ACFE中，EF=3，
由余弦定理知cos∠EDF=

5+8-9

2• 5 •2 2

=

1

10

，所以sin∠EDF=

3

10

，S△DEF=

1

2

•DE•DF•sin∠EDF=

1

2

×

5

×2

2

×

3

10

=3；
设点B到平面DEF的距离为h，由体积法知：VBDEF=

1

3

S△DEF•h=

1

3

×3×h=2，解出h=2
所以点B到平面DEF的距离为2．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．