Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过M（2，

2

）、N（

6

，1）两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+4（k＞0）与圆x²+y²=

8

3

相切，并且与椭圆E相交于两点A、B，求证：

OA

⊥

OB

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用代入法可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）联立与椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式，证明x₁x₂+y₁y₂=0，从而解决问题．

解答： （Ⅰ）解：因为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过M（2，

2

）、N（

6

，1）两点，
所以

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

，所以

a2=8 b2=4

…（3分）
所以椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1                …（4分）
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意得：d=

4

1+k2

=

2 6

3

，
所以k=

5

…（6分）
联立直线与椭圆方程可得11x²+16

5

x+24=0，
有x₁+x₂=-

16

11

5

，x₁x₂=

24

11

 …（9分）
所以x₁x₂+y₁y₂=6x₁x₂+4

5

（x₁+x₂）+16=0  …（12分）
所以

OA

⊥

OB

 …（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．