Question

【题目】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
（1）b5=；
（2）b2n﹣1= ．

Answer 1

【答案】
（1）105
（2）
【解析】解：（1）由题设条件可以归纳出an+1=an+（n+1），
故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1= n（n+1）
由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，
∴b5=105；
2）由于2n﹣1是奇数，由（I）知，第2n﹣1个被5整除的数出现在第n组倒数第二个，
故它是数列{an}中的第n×5﹣1=5n﹣1项，
所以b2n﹣1═ （5n﹣1）（5n﹣1+1）= ．
故答案为：105； ．
（1）由题设条件及图可得出an+1=an+（n+1），由此递推式可以得出数列{an}的通项为，an= n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b5；（2）由（1）中的结论即可得出b2n﹣1═ （5n﹣1）（5n﹣1+1）．