Question

2．若△ABC是钝角三角形，a=3，b=4，c=x，则x的取值范围是（1，$\sqrt{7}$）∪（5，7）．

Answer 1

分析 由于未说明哪个角是钝角，需分∠B或∠C为钝角进行解答，再结合三角形三边关系和余弦定理求解即可得答案．

解答 解：由题意知钝角三角形ABC三边长分别为3，4，x，
设B为钝角，
则$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}＜0$，
∴c²＜b²-a²=7．
由于两边之差小于第三边，∴c＞|a-b|=1．
∴$1＜c＜\sqrt{7}$．
设C为钝角，
则$cocC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}＜0$，
∴c²＞b²+a²=25，即c＞5．
由于两边之和大于第三边，∴c＜a+b=7．
∴5＜c＜7．
综上，$1＜c＜\sqrt{7}$或5＜c＜7．
故答案为：（1，$\sqrt{7}$）∪（5，7）．

点评 本题考查了余弦定理的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．