Question

16．已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1（n∈N^*），其中S_n表示数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃，并推测数列{a_n}的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件，可求a₁，a₂，a₃的值，猜想{a_n}的通项公式．
（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．

解答 解：（Ⅰ）${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}=\frac{7}{4}$，${a_3}=\frac{15}{8}$，猜测 ${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$，
（Ⅱ）证明：①由（1）知当n=1时，命题成立； 
 ②假设n=k时，命题成立，即 ${a_k}=2-\frac{1}{2^k}$，
当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k∴2k+12k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴$2{a_{k+1}}=2+2-\frac{1}{2^k}$，${a_{k+1}}=2-\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N^*，${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$都成立

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法