Question

已知向量 

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），记  f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）若 f（a）=

3

2

，求cos（

2π

3

-a）的值；
（Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象向右平移

2π

3

个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）-k在[0，

7π

3

]上有零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）先化简求得f（x）的解析式，由已知可求得a的值，从而可求cos（

2π

3

-a）的值；
（Ⅱ）先求得y=g（x）-k的解析式，从而可求g（x）的值域，由函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，

7π

3

]上有交点，可得实数k的取值范围．

解答： 解：f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

…（2分）
（Ⅰ）由f（a）=

3

2

得sin（

α

2

+

π

6

）+

1

2

=

3

2

，于是α=4kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴cos（

2π

3

-a）=cos（

2π

3

-4kπ-

2π

3

）=1…（5分）
（Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象向右平移

2π

3

个单位得到y=g（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

1

2

的图象，…（7分）
则y=g（x）-k=sin（

1

2

x-

π

6

）+

1

2

-k，
因为-

π

6

≤

1

2

x-

π

6

≤π，所以-

1

2

≤sin（

1

2

x-

π

6

）≤1，
所以0≤sin（

1

2

x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，…（8分）
若函数y=g（x）-k在[0，

7π

3

]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，

7π

3

]上有交点，
所以实数k的取值范围是[0，

3

2

]…（10分）

点评：本题主要考察了平面向量及应用，三角函数的图象与性质，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．