Question

6．已知点P为曲线xy-2x-2y+8=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根据两点间的距离公式，利用配方法进行转化即可得到结论．

解答 解：设P（x，y），
则|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy-2x-2y+8}$=$\sqrt{\frac{3}{4}（x-\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{1}{2}x+y-1）^{2}+\frac{2}{3}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
当且仅当x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{2}{3}$取等号，
故|OP|的最小值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查两点间的距离的求解，利用配方法将式子进行配方是解决本题的关键．