Question

18．如果对?x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2．
（1）求f（2），f（3），f（4）的值；
（2）求$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+$\frac{f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{f（2010）}{f（2009）}$+$\frac{f（2012）}{f（2011）}$+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$的值．

Answer 1

分析 （1）令x=1，y=1，求出f（2），令x=2，y=1，求出f（，3），令x=3，y=1求出f（4）；
（2）由$\frac{f（2n）}{f（2n-1）}$=f（1）=2，即可求出所求的和．

解答 解：（1）令x=1，y=1，则f（2）=f（1）•f（1），
由于f（1）=2，则f（2）=4；
令x=2，y=1，则f（3）=f（2）•f（1）=8；
令x=3，y=1，则f（4）=f（3）•f（1）=16．
（2）∵对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，
∴$\frac{f（2）}{f（1）}$=2，$\frac{f（4）}{f（3）}$=2，…，$\frac{f（2n）}{f（2n-1）}$=f（1）=2，
∴$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+$\frac{f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{f（2010）}{f（2009）}$+$\frac{f（2012）}{f（2011）}$+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$=1007f（1）=2014．

点评 本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查运算能力，属于中档题．