Question

8．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x-2}$，且4S_n•f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，bⁿ=-a_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，T_n为{b_n}的前n项和，比较T_n与$\frac{1}{2}$的大小．

Answer 1

分析 通过化简可知f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1}{2{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$，进而通过2S_n=a_n（1-a_n）与2S_n+1=a_n+1（1-a_n+1）作差、计算可知a_n+1-a_n=-1，进而可知数列{a_n}是以首项、公差均为-1的等差数列，从而bⁿ=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算可知T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，通过T_n随着n的增大而增大、计算即得结论．

解答 解：依题意，f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{（\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}}{2•\frac{1}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{1}{2{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$，
∴4S_n•f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=4S_n•$\frac{1}{2{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$=1，
∴2S_n=a_n（1-a_n），
∴2S_n+1=a_n+1（1-a_n+1），
两式相减得：2a_n+1=a_n+1-a_n+${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n+1}}^{2}$，
整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=-（a_n+1+a_n），
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=-1，
又∵4a₁•$\frac{1}{2{a}_{1}（1-{a}_{1}）}$=1，解得：a₁=-1，
∴数列{a_n}是以首项、公差均为-1的等差数列，
∴a_n=-n，
∴bⁿ=-a_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
易知T_n随着n的增大而增大，
∴T_n≥T₁=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．