Question

20．求和：S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$．

Answer 1

分析 通过通分、裂项计算可知$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：∵$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{4}+2{n}^{3}+3{n}^{2}+2n+1}{[{n（n+1）]}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（{{n}^{2}+n+1）}^{2}}{[{n（n+1）]}^{2}}}$
=$\frac{{n}^{2}+n+1}{n（n+1）}$
=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S=（1+1-$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=n+1-$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，裂项、并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．